Formules de Calculs de Résistance des Matériaux				sommaire
rapport masse/volume/densité
masse	7.80	7.80	volume x densité
volume	1.00	1.00	masse / densité
densité	7.80	7.80	masse/volume
module de coulomb (G):
(module de cisaillement)
G=E/2.(1+v)
E: module de young
v: coef. De poisson
rdm
allongement :	eps=T/E=F/A.E
teta (T)=contrainte
A=section
E=module de young
Epsilon(eps)=allongement	(cf loi de hooke)
rappel du coefficient de poisson
rappel sur la loi de hooke:
l'allongement est proportionnel à la force
contrainte σ (similaire à une pression)		allongement relatif ε
.
L'analogue de la constante de raideur du ressort est donc le module de Young E.
	La loi de Hooke s'exprime alors sous la forme :
La résistance des matériaux est une branche de la mécanique des milieux continus adaptée aux déformations des structures (machines — génie mécanique — ou bâtiments — génie civil).
Cette science permet de ramener la loi de comportement global d'une structure (relation entre sollicitations-forces ou couple- et déplacements) à une loi de comportement locale des matériaux (relation entre contraintes et déformations). L'objectif étant le dimensionnement de la structure suivant un critère de résistance ou de déplacement admissible.
Selon l'intensité de la contrainte, il y a d'abord déformation élastique (lorsque la sollicitation disparaît, le matériau reprend sa forme et sa position initiale) puis déformation plastique (lorsque la sollicitation disparaît, une certaine déformation subsiste) et enfin rupture lorsque les limites intrinsèques du matériau sont dépassées.
La matière est :
élastique (pas de plastification),
linéaire (pas de non-linéarité),
homogène (pas de variation de comportement dans le matériau),
isotrope (pas de variation de comportement suivant la direction).
Le problème est :
iso-statique (pièce en équilbre cinématique),
en petits déplacements (pas de grand déplacement),
quasi-statique (pas d'effet dynamique),
quasi-isotherme (pas de changemet de température).
Notion de poutre:
L'ingénieur utilise la résistance des matériaux avant tout pour concevoir les éléments de construction et vérifier leur résistance et leur déformation. Quelques rapides calculs peuvent être menés facilement si on se limite à la poutre à plan moyen, c'est-à-dire un objet de grande longueur par rapport à sa section et doté d'un plan de symétrie (plan moyen).
Sollicitations simples:
Type	Commentaire		Exemple
Traction	Allongement longitudinal, on tire de chaque côté		Câble de remorquage
Compression	Raccourcissement, on appuie de chaque côté		noyau d'une tour en absence de vent
Cisaillement	Glissement relatif des sections		tectonique des plaques
Torsion	Rotation par glissement relatif des sections droites		arbre de transmission d'un moteur
Flexion simple	Fléchissement sans allongement des fibres contenues dans le plan moyen		planche de plongeoir
Flexion pure ou circulaire	Fléchissement sans effort tranchant dans certaines zones		partie de poutre entre deux charges concentrées
Le Principe de Saint-Venant stipule qu'une condition limite (au point M) peut être remplacée par un chargement équivalant sans modifier notablement le problème , si l'on se place sufficammant "loin" de M.
remplacement des conditions limites par un chargement,
notion de d'erreur à "proximité" des conditions limites.
Le Principe de superposition permet de décomposer toute sollicitation complexe en somme de solicitations simples.
L'équilibre statique donne la base de la résolution du problème. Il stipule que :
La somme des forces extérieures au système est égale au vecteur nul :
.
La somme des moments en un point, ici au point A, est égale au vecteur nul :
.
le Théorème de Castigliano définit déplacement du point, lieu d'application d'une force par la dérivée du potentiel élastique par rapport de cette force.
Suivant les domains étudiés, il existe deux types de grandeur (extérieur et intérieur). elles sont différenciées par rapport à la pièce étudiée.
domaine physique	point de vue extérieur	point de vue intérieur
mécanique	efforts	contraintes
géométrique	déplacements	déformations
Les efforts (ou chargement) regroupent les Forces [N] et les moments [Nm]. les déplacement engloblent les translations et les rotations.
Contraintes mécaniques
loi de Hooke
La contrainte normale σ [Pa] est proportionnelle à l’allongement relatif ε [sans unité] par la constante du module de Young E [Pa]:
avec l’allongement relatif ε [sans unité] donné par la relation des longueurs initiale et finale [m]:
Traction / Compression
Cette contrainte est donnée normale à la force de traction. σ [Pa] est égale à la force F [N] divisée par la surface normale S [m2] :
Flexion
la contrainte de flexion est décrite avec le moment de flexion M_3 [N/m], la flèche x_2 [m] et le moment d'inertie I_3 [m^4]
avec le Moment d'inertie :
Cisaillement
avec le moment de cisiallement [Pa] :
Références théoriques:
La contrainte normale σ : contrainte
l’allongement relatif ε : Allongement à la rupture
le module de Young E ou le module d’élasticité longitudinal : Module de Young
le module de cisaillement G ou le module d’élasticité tangentiel : Module de Cisaillement
le moment d'inertie de flexion I : Moment d'inertie
sollicitations composées
Type	Commentaire	Exemple
Flexion et torsion		arbre de transmission
Flexion et traction		vis
Flexion et compression	Flambage	bielle
Cisaillement et compression
Cisaillement et traction
La poutre est généralement supposée composée d'un matériau isotrope homogène et chargée dans son plan moyen (pas de torsion donc). Dans ces conditions, la résultante des efforts extérieurs est composée :
d'un effort longitudinal de compression ou traction ;
d'un effort normal de cisaillement : l'effort tranchant ;
d'un moment fléchissant.
On peut encore simplifier en considérant par exemple, une poutre droite, horizontale, de section constante, chargée uniformément et reposant sur deux appuis simples. Si on désigne par p la charge linéaire et par l la longueur de la poutre, la solution du problème tient en quelques formules simples :
la réaction d'appui est réduite à deux forces verticales, égales chacune à la moitié de la charge soit pl/2
l'effort tranchant varie de +pl/2 à -pl/2 avec une valeur nulle en milieu de travée . On doit vérifier que la contrainte de cisaillement sur appui reste inférieure à la résistance au cisaillement maximum du matériau
le moment fléchissant est nul sur appui et maximum en milieu de travée où il vaut pl²/8  On doit vérifier que les contraintes dans la section médiane ne dépassent ni la résistance à la compression, ni la résistance à la traction maximales.
Flambage:
la charge critique à partir de laquelle il y a risque de rupture par flambage peut être calculée par la formule d'Euler:
où
E est le module de Young du matériau ;
I est le moment quadratique de la poutre ;
lk est la longueur de la flambement de la poutre ;
Le facteur lk représente une longueur équivalente à celle d'une poutre rotulée-rotulée. Il s'agit de la distance séparant deux points d'inflexions de la poutre. Ainsi,
pour une poutre rotulée aux deux bouts,
, la longueur de la poutre ;
pour une poutre encastrée aux deux bouts,
pour une poutre encastrée-rotulée,
pour une poutre encastrée-libre,
Ce problème est sérieusement considéré dans les cas du dimensionnement de piliers en Génie Civil et de bielles en mécanique, éléments nécessairement de grande longueur et soumis à la compression.
En pratique cependant, ce n'est pas la formule d'Euler qui est utilisée pour calculer le dimensionnement d'une poutre. On définit habituellement un paramètre géométrique, λ, appelé coefficient d'élancement :
où ρ est le rayon de giration de la poutre et S la section de cette poutre.
On peut alors définir un coefficient d'élancement critique, λc, qui ne dépend que des propriétés du matériaux :
où σe est la limite élastique du matériau ;
On peut alors déterminer la charge critique Fc applicable sur une poutre en comparant sa valeur d'élancement λ à la valeur de λc.
Si
, la poutre est en compression simple :
Si
, on utilise alors la formule expérimentale de Rankine :
Si
, on utilise alors la formule d'Euler, qui peut se réecrire sous la forme :
Energie cinétique:
W= énergie cinétique
F= force (N)
V= vitesse initiale du corps (m/sec)
M= masse du corps (kg)
L= distance sur laquelle le corps restitue son énergie (m)
(1km/h=0,2777m/sec)
W=(MxV2)/2
F=(MxV2)/2L